Fonction fortement convexe, \(\alpha\)-elliptique
Fonction qui vérifie l'inégalité suivante pour un certain \(\alpha\) : $$\langle{\nabla f(y)-\nabla f(x),y-x}\rangle _E\geqslant\alpha\lVert y-x\rVert^2_E.$$
caractérisations :
\(g:x\mapsto f(x)-\frac\alpha2\lVert x\rVert^2_E\) est une Fonction convexe (toujours convexe, même en lui ajoutant une Fonction concave)
\(f(y)\geqslant f(x)+\langle{\nabla f(x),y-x}\rangle _E+\frac\alpha2\lVert y-x\rVert_E^2\) (\(f\) est au-dessus d'une fonction quadratique ayant la même tangente en \(x\))
(pour les fonctions deux fois différentiables) : \(d^2f(x)(h,h)\geqslant \alpha\lVert h\rVert_E^2\)
